Первая часть, составляющая содержание настоящего тома, посвящена обстоятельному изложению геометрии Лобачевского, этого основного творения, на котором прежде всего построено современное учение об основаниях геометрии, если не об обосновании всей вообще математики. Совершенно естественно стремление к изданию у нас в стране, где неевклидова геометрия возникла и получила глубокое развитие в трудах Н. И. Лобачевского, обстоятельного и серьезного изложения гиперболической геометрии, по которому геометр мог бы ее основательно изучить, усвоить примерно так, как усваивается классическая геометрия Евклида. Я считаю совершенно неправильным мнение, что геометрию Лобачевского достаточно себе уяснить путем общего ознакомления с одной из ее интерпретаций или моделей. В соответствии с этим, гиперболическая геометрия в настоящем сочинении изложена так, чтобы изучающий мог ее усвоить и овладеть ею в той же мере, в какой он владеет классической геометрией; а для этого ее нужно изложить в таком порядке и в таком объеме, в каком излагается геометрия Евклида (элементарная, аналитическая, дифференциальная). Это я и старался выполнить в настоящем томе.