Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Название: Дифференциальные уравнения в частных производных
Автор: Масленникова В.Н.
Аннотация:
Учебник написан на основе лекций, читаемых автором на факультете физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.
В книге отражены следующие темы: выводы основных уравнений математической физики и гидродинамики; общая теория дифференциальных уравнений в частных производных, включая теорему Ковалевской, характеристики, классификацию уравнений и систем; даны основы теории обобщенных функций и пространств Соболева, с использованием которых изучены задачи Коши, краевые и начально-краевые задачи, в том числе задача на собственные значения для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Изложены приближенный метод Галеркина и свойства гармонических функций. Последняя глава посвящена общим теоремам вложения для пространств Соболева. Книга написана на современном уровне, сочетающимся с доступностью изложения, для студентов университетов, обучающихся по специальностям "Математика", "Прикладная математика", "Информатика и прикладная математика". Учебник полезен также для физических специальностей.
Абсолютно непрерывная функция341 Адамара пример50 Аналитическая функция многих вещественных переменных53 Аналитическое решение54 Базис ортонормированный313 Банахово пространство243, 256, 405 Бесселевы потенциалы419 Вариационный принцип собственных значений и собственных функций316, 317 Вложения теоремы251, 279, 404, 405, 408, 409, 410, 416, 417 Внешние краевые задачи392, 393, 401 Волновое уравнение22, 48, 49 Вполне непрерывный оператор234 Вторая краевая задача37, 203 Вторая начально-краевая задача203 Галеркина метод для уравнения Пуассона330 Галеркина метод для уравнения теплопроводности337 Гамма-функция350, 418 Гармоническая функция362 Гарнака неравенства389 Гарнака теорема388 Гидродинамики уравнения44, 45, 46 Гильбертово пространство243, 254, 257 Гиперболическая система уравнений99 Гиперболическое уравнение87 Главный символ уравнения82, 86 Грама — Шмидта метод345 Граничные условия29, 30, 31 Грина формула354 Грина функция358 Гюйгенса принцип199 Даламбера формула189 Двойного слоя потенциал358 Дирихле задача31, 37, 288, 330 Дифференциальный оператор309 Диффузия волн199, 200 Дюамеля принцип153, 190 Единственность классического решения краевых и начально-краевых задач157, 160, 168 Единственность обобщенного решения краевых задач для уравнения Пуассона290 Единственность обобщенного решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности338 Жиро лемма для шара366 Жиро теорема372 Задача Дирихле31, 37, 288, 330 Задача корректно поставленная119 Задача Коши29, 53, 162 Задача Неймана37, 377 Задача Штурма—Лиувилля214 Закон сохранения энергии165, 207 Замкнутый линейный оператор236 Замыкание линейного оператора237 Запаздывающий потенциал192 Звездная область257 Инверсии преобразование382 Интеграл энергии165, 207 Канонический вид дифференциального уравнения в частных производных второго порядка101, 104, 105, 111, 112 Квадратичная форма100 Кельвина преобразование397 Кирхгофа формула182 Классификация систем уравнений произвольного порядка90, 91, 99 Классификация уравнений второго порядка101, 105, 110 Классическое решение21, 22, 150, 170, 172, 204, 212, 239 Ковалевской пример66 Ковалевской теорема54 Колебаний уравнение22, 38, 39, 49 Компактное множество284, 285 Компактность вложения284, 287, 437 Конус характеристический164 Корректность постановки задачи Коши50, 119, 189 Коши задача для уравнения волнового162 Коши задача для уравнения теплопроводности130 Коэффициенты Фурье219, 314 Кратность собственного значения300 Лапласа преобразование117 Лапласа уравнение23, 40, 363 Линейная зависимость элементов334 Линейно независимые системы функций330 Линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка21 Линейное нормированное пространство253, 256 Линейный дифференциальный оператор234, 309 Лиувилля теорема390 Локально конечное покрытие412 Локально неразрешимые уравнения67 Мажоранта58, 230 Мажорирующая задача Коши61 Максимума принцип для уравнения Лапласа363, 370 Максимума принцип для уравнения теплопроводности155, 157, 158 Метод Галеркина330, 337 Метод спуска185 Метод Фурье212, 232 Минимально гладкие границы406 Минковского неравенство415, 419 Навье — Стокса система46 Начально-краевая задача29, 30, 31, 203, 224 Начальные условия29, 38 Неймана задача37 Непрерывность оператора продолжения411 Непрерывность средних функций266 Непрерывный оператор236 Неравенства Гарнака389 Неравенство Минковского для интегралов419 Неравенство Минковского для сумм415 Неравенство Пуанкаре283 Неравенство Фридрихса259, 262, 318 Неразрывности уравнение44 Норма234, 253, 256 Норма линейного оператора234 Норма порожденная скалярным произведением258 Нормированное пространство253, 256 Носитель137, 177 Нулевое множество обобщенной функции177 Ньютона закон теплообмена30 Ньютонов потенциал357 Область влияния197 Область зависимости197 Область звездная257 Область значений оператора305 Область определения оператора233, 235, 304 Область специальная липшицева406 Обобщенная производная244, 245, 251, 405 Обобщенная собственная функция301, 302 Обобщенная функция134, 138 Обобщенная функция финитная177 Обобщенно однородный многочлен89 Обобщенное решение239, 240, 242, 288 Обоснование метода Фурье319 Оператор вложения405 Оператор вполне непрерывный234 Оператор замкнутый236 Оператор линейный234 Оператор линейный неограниченный234, 235 Оператор линейный ограниченный233, 234, 418 Оператор положительный305 Оператор продолжения411 Оператор самосопряженный234, 236, 237, 304 Оператор сопряженный237 Операторное уравнение306, 307 Ортонормированная система312 Ортонормированный базис313 Основные функции137, 138 Остроградского — Гаусса формула225 Параболическая система уравнений99 Параболическое уравнение89 Парсеваля равенство134, 314 Первая краевая задача31, 37 Первая начально-краевая задача для уравнения волнового38 Первая начально-краевая задача для уравнения гиперболического203 Первая начально-краевая задача для уравнения параболического224, 337 Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности29, 337 Петровский, И.Г.24, 85, 87, 88, 89, 91 Поверхность характеристическая77 Полная производная вектора и скаляра40
Полная система330 Полное нормированное пространство254 Полный символ уравнения82 Порядок линейного дифференциального уравнения20 Порядок системы20 Потенциал двойного слоя358 Потенциал запаздывающий192 Потенциал ньютонов357 Потенциал простого слоя357 Потенциалы Бесселя419 Предельный показатель в теоремах вложения429, 437 Преобразование Лапласа117 Преобразование Фурье114 Преобразование Фурье из S в S115 Преобразование Фурье из S' в S'140 Приближенное решение330, 332, 337 Приведение уравнения к каноническому виду в области105, 111, 112 Приведение уравнения к каноническому виду в точке100, 101 Пример Адамара50 Пример Ковалевской66 Принцип возможных перемещений33 Принцип Гюйгенса199 Принцип максимума для уравнения Лапласа363, 370 Принцип максимума для уравнения теплопроводности155, 157, 158 Продолжение функций280, 282, 411 Продолжения оператор411 Производная обобщенная по Соболеву244, 245, 249, 251 Пространство обобщенных функций D'138 Пространство обобщенных функций S'138 Пространство основных функций D137 Пространство основных функций S114 Пространство Соболева253, 256 Пуанкаре неравенство283 Пуассона уравнение23, 36 Пуассона формула145, 188, 385 Пуассона ядро144 Равенство Парсеваля134, 314 Равновесия мембраны уравнение32 Разделение переменных212, 228, 232 Разложение единицы412 Расширение оператора235 Решение второй (и третьей) начально-краевой задачи для уравнения гиперболического232 Решение второй (и третьей) начально-краевой задачи для уравнения параболического233 Решение задачи Дирихле288, 292 Решение задачи Коши для уравнения волнового172 Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности149, 150, 153 Решение задачи Неймана308, 310 Решение первой начально-краевой задачи для уравнения волнового322, 329 Решение первой начально-краевой задачи для уравнения гиперболического319, 322, 329 Решение первой начально-краевой задачи для уравнения параболического337, 347 Рисса теорема291 Ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи222, 313 Самосопряженный оператор234, 236, 237, 304 Свертка140, 177 Свойства обобщенных производных246, 247, 252 Свойства собственных значений308, 310, 315 Свойства собственных функций309, 311, 315, 316 Свойства функции Грина358, 359 Система ортонормированная312 Скалярное произведение254, 289, 303 Слабо компактное множество285 Слабо сходящаяся последовательность136, 336 След функции271, 408, 417 Соболев, С.Л.24, 134, 238, 241, 243, 251, 256, 270, 278, 298, 404 Соболева пространства253, 256 Собственное значение214, 215, 300 Собственные функции214, 215, 300 Сопряженный оператор237 Специальная липшицева область406 Средние функции264 Срезающая функция280, 415 Сужение на подмногообразие408, 435 Сходимость в среднем (сильная)255, 336 Сходимость слабая255, 336, 347 Теорема Гарнака388 Теорема Гильберта — Шмидта312 Теорема Ковалевской54 Теорема Лиувилля390 Теорема о непрерывной зависимости210, 228 Теорема об устранимой особенности391 Теорема Рисса291 Теоремы о продолжении функций280, 282, 411 Теоремы о среднем для гармонических функций378, 379 Теплопроводности уравнение22, 28, 66 Тихонов, А.Н.51, 160 Третья краевая задача38, 295, 374 Третья начально-краевая задача31 Уравнение волновое22 Уравнение гиперболическое87 Уравнение колебаний мембраны38 Уравнение колебаний струны39 Уравнение Лапласа23, 40 Уравнение Лапласа в полярных координатах397 Уравнение Лапласа в сферических координатах399 Уравнение неразрывности44 Уравнение параболическое89 Уравнение Пуассона23, 36 Уравнение равновесия мембраны36 Уравнение смешанного типа113, 114 Уравнение состояния45 Уравнение теплопроводности22, 28 Уравнение Трикоми113 Уравнение ультрагиперболическое105 Уравнение Эйлера45 Уравнение эллиптическое86 Уравнения гидродинамики44, 45, 46 Условие некорректной постановки задачи Коши123, 124, 126 Условие непротекания жидкости через границу46 Условия граничные29, 30, 31 Условия начальные29 Усреднение функции (средние функции)264 Усреднения ядро263 Финитная функция137 Формула Грина354 Формула Даламбера189 Формула Кирхгофа182 Формула Пуассона для решения уравнения колебаний мембраны188 Формула Пуассона для решения уравнения Лапласа в шаре385 Формула Пуассона для решения уравнения теплопроводности145 Фридрихса неравенство259, 262, 318 Фридрихса теорема259 Фундаментальное решение уравнения волнового193, 195 Фундаментальное решение уравнения Лапласа349, 350 Фундаментальное решение уравнения линейного дифференциального348, 350 Фундаментальное решение уравнения теплопроводности148 Функционал линейный134 Функция гармоническая362 Функция Грина358 Функция источника148 Фурье закон в теории теплопроводности26 Фурье коэффициенты219, 314 Фурье преобразование114, 140 Фурье ряд218 Фурье ряд по собственным функциям краевой задачи218 Характеристика (характеристическая поверхность)77 Характеристическая поверхность для уравнения волнового78, 79, 164 Характеристическая поверхность для уравнения теплопроводности78 Характеристический многочлен82 Характеристическое направление82 Штурма — Лиувилля задача214 Эйлера уравнения движения жидкости45 Эквивалентные нормы258 Эллиптическая система по Дуглису — Ниренбергу93 Эллиптическая система по Петровскому90 Эллиптическое уравнение86 Энергетические оценки165, 208 Юнга для свертки430 Юнга неравенство430 Ядро бесселева потенциала419 Ядро Пуассона144, 147, 148
|
|
О проекте