Из предисловия к этой книге:
«Многие вопросы математической физики приводят к задаче определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям. Так, например, к такого рода вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего данным начальным и краевым условиям. Поэтому дифференциальные операторы привлекали и привлекают большое внимание, и имеется много работ, им посвященных.
Большинство из этих работ посвящено сформулированной выше основной проблеме — спектральному анализу дифференциальных операторов, т е исследованию спектра и разложению заданной функции по собственным функциям дифференциального оператора. Особенно возрос интерес к этой проблеме в последние десятилетия в связи с развитием квантовой механики. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики. При этом запросы квантовой механики требуют детального исследования так называемых сингулярных дифференциальных операторов, например, операторов, заданных в бесконечном интервале. Такие операторы могут, вообще говоря, иметь не только дискретный, но и сплошной спектр, в связи с чем, разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла Стильтьеса»…
В настоящей книге излагается теория линейных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка. В книге широко используются идеи и результаты функционального анализа, главным образом теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Для удобства читателя все необходимые сведения из функционального анализа приводятся в самой книге, так что, как полагает автор, книга доступна широкому кругу читателей. Многие вопросы теории линейных дифференциальных операторов можно излагать и, не пользуясь функциональным анализом. Однако автор не считает целесообразным такое изложение, ибо только при использовании идей и методов функционального анализа возможно глубокое понимание теории, а также получение наиболее общих результатов.
Книга состоит из двух частей. В части первой, которую можно назвать элементарной теорией дифференциальных операторов, применение методов функционального анализа сведено к минимуму. В ней излагается теория дифференциальных операторов в конечном интервале, включая теорию несамосопряженных дифференциальных операторов, при условии достаточной гладкости их коэффициентов. Для ее понимания от читателя требуются лишь самые элементарные сведения из теории обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений и теории функций комплексного переменного.
Вторая часть книги посвящена изложению теории дифференциальных операторов как операторов в гильбертовом пространстве. Здесь от читателя, в дополнение к указанному выше, требуется еще знание самых основных сведений из теории и интеграла Лебега.