В настоящей статье в достаточно полной общности и с хорошей точностью мы получаем результаты теории кратных тригонометрических сумм, которые по существу учитывают область изменения главных параметров. В статье рассматриваются специального вида области, более сложные области могут быть сведены к рассмотренным методом исчерпывания или введением соответствующих характеристических функций. Заметим также, что теория кратных сумм существенно отличается от теории однократных сумм, в ней имеется ряд новых эффектов; здесь наблюдается некоторая аналогия с теорией функций от одной и многих переменных.