Настоящая книжка преследует скромную цель: изложить доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского в форме, доступной пониманию читателей, имеющих законченное среднее образование. До сих пор наши центральные научные учреждения нередко получают рукописи, содержащие «доказательство» пятого постулата Евклида, т. е. аксиомы Евклида о параллельных. Как отвечать таким авторам? Нужно отвечать просто: давно доказано, что доказать это невозможно. Но как это доказано? Где прочесть подробное и вместе с тем понятное человеку со средним образованием доказательство этой невозможности? Я надеюсь, что первые две главы настоящей книжки восполнят этот пробел и тем самым сделают доступным более широким читательским массам понимание математической сути творения нашего великого геометра.
Остальные главы (III — V) и оба приложения написаны также по возможности доступно. В них излагаются различные дальнейшие теоремы планиметрии Лобачевского.