La notion de "variété" est au centre de la géométrie. Cet ouvrage fait un tour d'horizon concis et synthétique du sujet, avec une approche moderne et dans un style imagé qui n'exclut pas la rigueur. Parallèlement aux chapitres proprement dits, qui cherchent à présenter de façon cohérente les concepts formant l'ossature de la théorie, les "études" insérées entre les chapitres ont pour but de montrer ces concepts en action dans un contexte (par exemple, pour illustrer les champs de vecteurs, on étudie la mécanique de Newton et les orbites planétaires). Allant de la géométrie algébrique élémentaire à la mécanique, ces contextes ont été choisis de façon à donner une image large et ouverte de ce qu'est la géométrie. On y reconnaît au passage l'influence des idées de René Thom.