Джохадзе О.М, — Общая граничная задача типа Дарбу в угловых криволинейных областях для уравнения третьего порядка с доминированными младшими членами :: Электронная библиотека попечительского совета мехмата МГУ

Для уравнения
$\begin{equation*} u_{xxy}+a^{2,0}u_{xx}+a^{1,1}u_{xy}+a^{1,0}u_{x}+a^{0,1}u_{y} +a^{0,0}u=f, \tag{1} \end{equation*}$
где $a^{i,j}$ , $i=0,1,2$

, $a^{2,1}\equiv 1$ , $f$

– заданные, а $u$

– искомая действительные функции, рассмотрена задача типа Дарбу
$\begin{equation*} (M_iu_{xx}+N_iu_{xy}+P_iu_x+Q_iu_y+S_iu)|_{OP^0_{\varkappa(i)}} = f_i, \tag{2} \end{equation*}$
где $M_i$

, – заданные действительные функции, $OP_1^0$

соответственно отрезки кривых: $\gamma_1:y=\gamma_1(x)$ , $0\leq x\leq x_0$ ; $\gamma_2:x=\gamma _2(y)$ , $0\leq y\leq y_0$ ; $\varkappa(1)=1$ , $\varkappa(i)=2$ , $i=2,3$

. Для задачи (1), (2) введено определенное банахово пространство $B_{\alpha}$ , $\alpha\geq 0$ . Указывается такое число $\alpha_0$ , что при $\alpha<\alpha_0$ задача (1), (2) однозначно разрешима в пространстве $B_\alpha$ , а при $\alpha>\alpha_0$ она нормально разрешима по Хаусдорфу в $B_{\alpha}$ и ее индекс $\varkappa$ равен $+\infty$ . В частности, соответствующая (1), (2) однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений