Копылов А.П. — Устойчивость классов отображений и гёльдеровость старших производных эллиптических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений :: Электронная библиотека попечительского совета мехмата МГУ

В 1954 г. Л. Ниренберг получил следующий хорошо известный результат: если $z:U\to\mathbb R$ , $U$

– область в $\mathbb R^n$ , является решением класса $C^2$

эллиптического уравнения с частными производными
$F(x_1,\dots,x_n;z;\partial z/\partial x_1,\dots,\partial z/\partial x_n;\partial^2 z/\partial x_1^2,\dots,\partial^2 z/\partial x_n^2)=0$
2-го порядка, где $F$

– функция класса $C^1$

, то тогда частные производные $\partial^2 z/\partial x_i\partial x_j$ 2-го порядка функции $z$

локально непрерывны по Гельдеру в $U$

. Одновременно с Ниренбергом Ч. Морри получил аналогичный результат для эллиптических систем нелинейных уравнений 2-го порядка. В настоящей статье получен такой же результат, но уже для эллиптических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными произвольного порядка и весьма общего вида. В основе его доказательства лежат результаты исследований последних лет автора статьи, посвященных изучению явлений устойчивости в $С^l$

– норме классов отображений.