Коробков М.В. — Обобщение теоремы Лагранжа о среднем на случай векторнозначных отображений :: Электронная библиотека попечительского совета мехмата МГУ

В работе получен следующий результат.
Теорема 1. Пусть $f:[\alpha,beta]\to\Bbb R^m$ – функция, непрерывная на отрезке $[\alpha,\beta]\subset \Bbb R$ и дифференцируемая на интервале $(\alpha,\beta)$ , где $m\ge1$ и $\alpha<\beta$ . Тогда отношение $(f(\beta)-f(\alpha))/(\beta-\alpha)$ есть выпуклая комбинация $m$

значений производной $f'$

, т. е. существуют числа $\xi_i\in(\alpha,\beta)$ и $p_i$

, $i=1,\dots,m$ , такие, что
$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=\sum_{i=1}^mp_if'(\xi_i),\quad p_i\ge 0,\quad \sum\limits_{i=1}^mp_i=1.$
}\par Для вещественнозначных функций (при $m=1$

) теорема 1 совпадает с классической теоремой Лагранжа. Для случая дифференцируемых отображений $f$

, производная $f'$

которых непрерывна слева на $(\alpha,\beta)$ или непрерывна справа на $(\alpha,\beta)$ , утверждение теоремы 1 было получено в работе McLeod R. M. “Mean value theorems for vector valued functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. (Ser. 2). 1965. V. 14. P. 197–209.”