В книге изложено современное состояние общей теории вариационных методов для линейных задач и дан ряд приложений этой теории к более конкретным классам задач математической физики и теории упругости. Изложение базируется на элементах теории гильбертовых пространств; необходимые факты этой теории сообщаются без доказательств. Развивается энергетический метод для положительных и положительно определенных задач; этот метод конкретизируется для ряда одно- и многомерных задач математической физики. Изложен процесс Ритца для краевых задач и для задач о спектре; подробно исследована сходимость процесса Ритца.
Даны априорные и апостериорные оценки погрешности приближенного решения. Апостериорные оценки связаны с использованием «встречных методов», из которых обстоятельно рассмотрены метод ортогональных проекций и метод Трефтца. Существенно расширен вопрос о двусторонних оценках собственных чисел. Здесь большое внимание уделено весьма интересным результатам Г. Фикера и А. Вайнштейна.
Глава о численных примерах пополнена более сложной задачей трехмерной теории упругости, при решении которой использовано большое число (до 90) координатных векторов, выбранных так, чтобы обеспечить устойчивость вычислительного процесса.
Последние две главы (дополненные по сравнению с первым изданием) посвящены методу Бубнова — Галеркина и методу наименьших квадратов.
По сравнению с первым изданием книга содержит три новые главы: о только положительных операторах, об априорной оценке погрешности и о двусторонних оценках собственных чисел. Исключена стоявшая особняком глава о «методе прямых».