Предлагается алгоритм исследования на минимум вырожденных критических точек функций многих переменных, т.е. критических точек с вырожденной второй вариацией. Описываются деформации функций, при которых критическая точка сохраняет свойство реализовать локальный или глобальный минимум. Полученные результаты применяются для доказательства различных неравенств, исследования асимптотической устойчивости потенциальных и близких к потенциальным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, устойчивости по Ляпунову гамильтоновых систем и др.