Боровков А.А. — Оценки для распределения сумм и максимумов сумм случайных величин при невыполнении условия Крамера :: Электронная библиотека попечительского совета мехмата МГУ

Пусть $X_1,X_2,\ldots$ – независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения $F(t)$

,
$S_k=\sum_{j=1}^k X_j,\quad \overline{S}_n(a)=\max\limits_{k\leq n}(S_k-ak).$
Получены близкие к правильным оценки сверху и снизу для $\bold{P}(S_n>x)$ , $\bold{P}(\overline{ S}_n(a)>x)$ при $x\to\infty$ , $a\geq 0$ , а также оценки для $\bold{P}(\overline{ S}_n>x; B(v))$ , где
$B(v)=\bigcap_{j=1}^n\{X_j\leq y+v g(j)\},\quad v\geq 0,$
при подходящих функциях $g$

. Относительно распределения $F$

предполагается, что “хвосты” $F(-t)$

, $t\to\infty$ , мажорируются или минорируются правильно меняющимися функциями либо вида $x^{-\beta} L(x)$ , где $L(x)$

– медленно меняющаяся функция, либо вида $e^{-x^\alpha L(x)}$ , $\alpha\in (0,1)$ . В качестве следствий установлены относительная равномерная сходимость распределений сумм к устойчивому закону и закон повторного логарифма для последовательности $\{S_n\}$ в случае $\bold{E}X_j^2=\infty$ .