В настоящей работе изучается один частный случай системы трех дифференциальных уравнений типа Айзермана [1]. Задача,, предложенная Айзерманом, формулируется следующим образом.
Дана система линейных дифференциальных уравнений
ПП
W = J la'JxJ+ Fxk> in = ^ aUxJ (г= 2,3,...,я). (1)
j - l У- 1
Пусть при заданных постоянных apj(pj— 1, 2 ,..., п) и любом значении F из некоторого промежутка a < .F < (3 все корни характеристического уравнения системы (1) имеют отрицатель­ ные действительные части. Требуется доказать или опровергнуть следующее утверждение.
„Для любого промежутка (а, [3), для которого при а < / 7< р соблюдается условие отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения системы ( 1), и для лю­ бой однозначной непрерывной функции f(x), удовлетворяющей условиям
ах2<Сf (х) х < $х3 при всех хфО (а) /(0) = о, (Ь)
и система
(it^S +f(xk)’“rfj=^jaijxj (*=2,3,...,п), (2) i~1 J-i
единственным состоянием равновесия которой является, оче­ видно, начало координат хх—х2= ... = хп—0, будет иметь в начале координат устойчивое состояние равновесия, и область его притяжения охватывает все фазовое пространство систе­ мы (2), т. е. —оо< xj< со (у= 1, 2,..., п)л.
Функцию f ( x ) мы в дальнейшем часто будем называть нелинейностью, а условия (а) и (Ь) — обобщенными условиями Гурвица.