Der Ausgangspunkt dieses Buches war ein gemeinsam entwickeltes Vorlesungsskript der bei- den Autoren, das eine anschauliche Darstellung der Grundbegriffe der elementaren und al- gebraischen Zahlentheorie zum Ziel hatte. Dabei standen die theoretischen Aspekte zwar im Vordergrund, aber der Stoff sollte immer durch Beispiele und explizite Algorithmen konkre- tisiert werden.
Der rote Faden dieses Buches ist die Lo ̈sungstheorie diophantischer Gleichungen, d.h. die Suche nach ganzzahligen oder rationalen Lo ̈sungen von Polynomgleichungen in mehreren Variablen. Dabei stehen die quadratischen Gleichungen im Mittelpunkt, um den Stoff ele- mentar zu halten. Das Buch fu ̈hrt dazu in mehrere Techniken ein. In der Kongruenzrechnung versucht man, eine Gleichung zuerst modulo einer natu ̈rlichen Zahl n zu lo ̈sen. Dabei bietet es sich an, fu ̈r n eine Primzahlpotenz pk zu wa ̈hlen, weil man die Lo ̈sungen zu verschiedenen Primzahlpotenzen mit dem chinesischen Restsatz zusammensetzen kann. Der Grenzu ̈ bergang von k nach unendlich fu ̈hrt zu den p–adischen Zahlen. An Hand der quadratischen Formen wird demonstriert, wie aus Lo ̈sungen u ̈ber den p–adischen Zahlen auf eine Lo ̈sung u ̈ber den rationalen Zahlen geschlossen werden kann.