Этот курс состоит из двадцати лекций, посвященных расширению понятия интеграла. Полный исторический обзор не уместился бы в двадцати лекциях, поэтому, оставив в стороне многие важные результаты, я ограничился сначала интегрированием действительных функций одного действительного переменного; читатель может исследовать, легко поддаются обобщению указанные результаты. Кроме того, среди многочисленных определений, последовательно предлагавшихся для интеграла действительного переменного, я удержал лишь те, которые, по моему мнению, необходимо знать, чтобы понять все видоизменения, испытанные проблемой интегрирования, и чтобы уловить связь, существующую между кажущимся столь простым понятием площади и некоторыми, на вид весьма сложными, аналитическими определениями интеграла.
Правда, может возникнуть вопрос, интересно ли заниматься такими усложнениями и не лучше ли ограничиться изучением функций, требующих лишь простых определений. Это, однако, имеет преимущества лишь в элементарном курсе. Если же, как будет видно из этих лекций, мы решили бы всегда ограничиваться рассмотрением таких хороших функций, то нам пришлось бы отказаться от решения многих давно уже поставленных и весьма просто формулируемых проблем. Именно для решения этих проблем, а не из любви к усложнениям, я ввел в этой книге определение интеграла более общее, чем римановское, и содержащее это последнее как частный случай.