В работе изложен новый раздел теории уравнений с частными производными — уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой, которые иногда называют также вырождающимися эллиптическими уравнениями или эллиптико-параболическими уравнениями. Этот раздел возник за последние 20 лет и особенно интенсивно развивался в последние годы. Основное внимание в работе уделяется изучению краевых задач, вопросу локальной гладкости решений и условиям гипоэллиптичности уравнений второго порядка. Гипоэллиптичность и локальная гладкость решений изучаются на основе теории псевдодифференциальных операторов, также изложенной в настоящей работе. К изучению уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой приводят многие задачи гидромеханики (теория пограничного слоя), теории фильтрации, задачи физики, связанные с исследованием броуновского движения, задачи теории вероятностей (марковские процессы), задачи газовой динамики.