В работе излагаются новые результаты по теории сингулярных интегральных уравнений с одним и двумя неподвижными особенностями в ядре. Такие уравнения часто встречаются в механике и математической физике. Излагается также существенно переработанная и дополненная теория интегральных уравнений в свертках с ядрами, преобразование Фурье которых — разрывные функции (уравнения в свертках с разрывными предсимволами). Упомянутые уравнения тесно связаны друг с другом; для них получены условия нетеровости и формулы индекса, а также формулы для решения характеристических уравнений; исследована гладкость и асимптотика решений интегральных уравнений с неподвижными особенностями в ядре. Приводится ряд примеров из теории упругости и математической физики, к которым применяются полученные результаты.
Большая часть результатов публикуется впервые.