La notion de la structure d'un groupe de transformations fini et continu s'est présentée à M. Lie dès le début des recherches qui ont amené le grand géomètre norvégien à fonder sa théorie des groupes, théorie qui, par sa fécondité, a renouvelé pour ainsi dire plusieurs branches de la science mathématique. Dans sa méthode de résolution des équations algébriques qui admettent un groupe de substitutions donné, Galois ramène le problème à la résolution d'une série d'équations auxiliaires dont le nombre et la nature ne dépendent que de la structure du groupe de substitutions considéré. De la môme façon, M. Lie ramène l'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles qui admet un groupe de transformations fini et continu à l'intégration d'une série de systèmes auxiliaires, et le nombre de ces systèmes, leur nature, la manière dont ils se relient les uns aux autres ne dépendent encore que de la structure du groupe considéré. D'une manière analogue encore, la théorie des équations différentielles linéaires fondée par MM. Picard et Vessiot et plus généralement celle des équations différentielles qui admettent un système fondamental d'intégrales, mettent en évidence l'importance de la structure des groupes finis et continus.