Im Grundstudium wurden die Differential- und Integralrechnung im Rn und auf Untermannigfaltigkeiten des Rn behandelt. Für die Differentialgeometrie benötigen wir eine allgemeinere Klasse von Räumen, die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten sind abstrakte Mengen M, die man lokal um jeden Punkt durch nreelle Koordinaten beschreiben kann. Lokal verhalten sie sich also wie Euklidische Räume. Solche Mengen treten natürlicher Weise z.B. als Nullstellenmengen von Abbildungen oder als Mengen der Äquivalenzklassen bei Äquivalenzrelationen auf. Beispiele für Mannigfaltigkeiten sind Flächen im R3, wie reguläre Quadriken, das Möbiusband oder Rotationsflächen. Aber auch die klassischen Gruppen oder die Menge aller k-dimensionalen Unterräume des Rn sind Mannigfaltigkeiten. Nach dem Einbettungssatz von Whitney ist jede differenzierbare Mannigfaltigkeit diffeomorph zu einer Untermannigfaltigkeit eines reellen Vektorraumes RN, so dass es genügen würde, Geometrie und Analysis auf Untermannigfaltigkeiten zu betreiben. Meist ist es aber einfacher und genügt, ein Objekt als abstrakte Mannigfaltigkeit zu betrachten ohne seine (oft recht aufwendig hinzuschreibende) Einbettung in den RN zu kennen. Dies ist z.B. der Fall, wenn die Objekte durch Verklebungen entstehen oder als Orbiträume von Gruppenwirkungen, die unter anderem in der Physik eine große Rolle spielen.