Интегральные уравнения имеют значение не только математическое; к ним. приводит большое число физических задач, в частности, задач механики, — иногда непосредственно, иногда через определяющее данную задачу диференциальное уравнение, которое, в свою очередь, оказывается возможным свести к интегральному уравнению.
Значение нашей теории в первом случае очевидно само по себе; но и во втором она обладает некоторыми характерными для нее преимуществами. Мы увидим в дальнейшем, что интегральное уравнение заменяет собой соответствующее диференциальное уравнение вместе с его граничными условиями, которые, если только речь идет о вполне определенном физическом явлении, необходимо появляются при всяком дифереицнальном уравнении. Интегральное уравнение, следовательно, содержит в себе уже. все элементы, определяющие физическую задачу. Следующее преимущество интегральных уравнений заключается в том, что в большинстве случаев мы приходим к уравнениям одного и того же типа, и именно, по большей части к вышеопределенным уравнениям, в то время как типы диференциаль-ных уравнений, даже в очень родственных задачах, часто оказываются весьма различными. Задачи о колебаниях, например, требуют исследования иногда обыкновенных диференциальных уравнений, иногда уравнений с частными производными, частью второго, частью четвертого порядка. Когда мы пользуемся интегральными уравнениями, мы лучше выявляем то общее, что имеется в различных задачах, хотя, разумеется, и диференциаль-ные уравнения имеют свои несомненные преимущества, особенно в исследовании отдельных задач.