Диофантова система

RIP · 11/01/06 3822

Докажите, что система
$\left\{ \begin{matrix} x+y=a^2;\\ x^2+y^2=b^4; \end{matrix} \right.$
имеет бесконечно много решений в натуральных $x,y,a,b$ , таких что $(x,y)=1$ .
Попрошу пока воздержаться от ссылок. Пусть те, кому интересно(если таковые найдутся), попробуют порешать самостоятельно.

maxal · 11/01/06 5660

Кстати, П.Ферма рассматривал похожую, но более сложную систему:
...removed...
Это не ссылка, а информация к размышлению. :lol:

RIP · 11/01/06 3822

Ферма как раз мою и рассматривал(в Вашей даже второе уравнение не имеет решений

)

Добавлено спустя 8 минут 47 секунд:

Кстати, решение в целых числах найти попроще.

maxal · 11/01/06 5660

И точно! Память подвела :lol:

Константин Кноп когда-то рассказывал подробно как решать эту систему. Позже подкину ссылочку на его решение.

Lion · 26/11/06 696 мехмат

Может быть, все-таки обсудим эту задачу? Все уже, наверное, подумали над ней, да и задача интересная...

juna · 07/03/06 1898 Москва

Минимальное положительное решение $x=1061652293520$ , $y=4565486027761$ .
Можно утверждать, что $7|xy$ , $4|xy$ .
Простых решений я не знаю, от ссылок пока воздержусь.

Lion · 26/11/06 696 мехмат

Если кому интересно, следующее по величине решение:
$\begin{align*}x &= 214038981475081188634947041892245670988588201, \\ y &= 109945628264924023237017010068507003594693720\end{align*}$
(если я нигде не наврался

). Кстати, не мог бы Артамонов Ю.Н. пояснить, откуда берется ограничение $28\mid xy$ ?

juna · 07/03/06 1898 Москва

$(x+y)^2-2xy=b^4\Rightarrow 2xy=a^4-b^4=(a^2+b^2)(a-b)(a+b)$ Отсюда разной четности $a,b$ быть не могут, т.е. $4|xy$ .
Далее рассматривая $x^2+y^2=z^4$ , $(x,y)=1\Rightarrow x=2mn, y=m^2-n^2, z^2=m^2+n^2$ . Пусть $7 \not |x$ . Квадрат любого числа сравним с 1, 2, 4 по модулю семь, отсюда $m,n$ имеют одинаковые остатки при делении на 7, т.е. $7|y$ .

Lion · 26/11/06 696 мехмат

Спасибо, я все понял.
Насчет решения: весь вопрос в конечном счете сводится к уравнению вида $a^2=p^4+4p^3q-6p^2q^2-4pq^3+q^4$ (1), где $p,q,a\in \mathbb{N}$ (тогда числа $x,y$ определяются из равенств $x=4pq(p^2-q^2)$ , $y=(p^2-q^2)^2-4p^2q^2$ ). Если рассматривать уравнение (1) в целых числах, то легко видеть, что при $3p+2q=0$ имеем $a^2=(p+q)^4$ , и значит, $a=(p+q)^2$ , т.е. можно найти бесконечное множество решений в целых числах. А вот как понять, когда (1) разрешимо в натуральных числах? Некоторые $p,q$ , удовлетворяющие (1), можно просто подобрать с помощью компьютера, но найти семейсто решений не получается...

juna · 07/03/06 1898 Москва

Решать по-честному - нужно приводить к эллиптической кривой и находить на ней рациональные решения.
Но может быть Кноп этот честный путь подсократит?

Lion · 26/11/06 696 мехмат

Очень на это надеюсь!

maxal · 11/01/06 5660

Решение К.Кнопа

juna · 07/03/06 1898 Москва

Нельзя назвать это решение полным или улучшаемым до полного.
В книге Прасолов В.В. Соловьев Ю.П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения 1997. стр. 168-169 решение основывается на поиске рациональных точек на эллиптической кривой $y^2=x^3+8x$ .
Существует (в природе, к сожалению у меня нет) также книжка В. Серпинского Пифагоровы треугольники 1959., в которой также якобы разбирается решение.
По ссылке Кнопа задача Дьюдени здесь также обсуждалась.

RIP · 11/01/06 3822

Lion писал(а):

Спасибо, я все понял.
Насчет решения: весь вопрос в конечном счете сводится к уравнению вида $a^2=p^4+4p^3q-6p^2q^2-4pq^3+q^4$ (1), где $p,q,a\in \mathbb{N}$ (тогда числа $x,y$ определяются из равенств $x=4pq(p^2-q^2)$ , $y=(p^2-q^2)^2-4p^2q^2$ ). Если рассматривать уравнение (1) в целых числах, то легко видеть, что при $3p+2q=0$ имеем $a^2=(p+q)^4$ , и значит, $a=(p+q)^2$ , т.е. можно найти бесконечное множество решений в целых числах. А вот как понять, когда (1) разрешимо в натуральных числах? Некоторые $p,q$ , удовлетворяющие (1), можно просто подобрать с помощью компьютера, но найти семейсто решений не получается...

Замечу, что условие $3p+2q=0$ дает лишь одно решение (при условии взаимной простоты). Не думаю, что бесконечность числа целых (примитивных) решений доказать проще, чем бесконечность числа натуральных.

RIP · 11/01/06 3822

Расскажу, как решал я.
Решаем уравнение в натуральных числах
$$a^2=(p^2-q^2+2pq)^2-8p^2q^2$$

Условия на $p,q$ : $(p,q)=1$ , $p$ и $q$ разной четности (если $p,q$ - решение, то это следует из $(p,q)=1$ ), $\frac pq>\sqrt2+1$ .
Удобнее решать уравнение в рациональных числах
$$(u^2+2u-1)^2-8u^2=v^2$$

Уравнение $\alpha^2-8\beta^2=\gamma^2$ имеет серию решений
$\alpha=2c^2+d^2,\ \beta=cd,\ \gamma=2c^2-d^2$
Итак, попробуем решить систему
$$u=cd$$

$u^2+2u-1=2c^2+d^2=2c^2+\frac{u^2}{c^2}$
Получаем уравнение
$(1-\frac1{c^2})u^2+2u-1-2c^2=0$
Из него находим $u$
$u=\frac{c(\sqrt{2c^4-1}-c)}{c^2-1}=\frac{c(2c^2+1)}{\sqrt{2c^4-1}+c}$
Надо, чтобы $2c^4-1$ было точным квадратом. Это очень тесно связано с исходной системой, т.к.
$$(x-y)^2+a^4=2b^4$$

т.е. достаточно взять $c=\frac ba$ .
Отсюда и способ получения бесконечного множества решений (думаю, что по сути это размножение точек на эллиптической кривой.)
Начинать можно, например, с $u=\frac32.$ Попеременно будем получать решение в целых и натуральных $x,y$

Научный форум dxdy

Диофантова система

Кто сейчас на конференции