В первой части работы показано, что мало отличающееся от поворота аналитическое преобразование окружности, число вращения которого иррационально и удовлетворяет некоторым арифметическим требованиям, может быть преврыщено в поворот аналитической заменой переменной. Во второй части рассмотрено пространство отображений окружности на себя и место, занимаемое в этом пространстве отображениями разных типов. Указаны приложения к исследованию траэкторий на торе и к задаче Дирихле для уравнения струны.