Сборник содержит статьи, посвященные актуальным направлениям развития математики и ее методам. Первый цикл статей — это живое и увлекательное изложение отдельных научных направлений, к которым в настоящее время проявляется повышенный интерес. Здесь рассматривается, в частности, теория твисторов Пенроуза; задача четырех красок, которая была поставлена более ста лет назад и при исследовании которой созданы алгебраические средства, хотя и не приведшие к ее решению, но интересные сами по себе; изложено развитие идей французского математика Э. Галуа и дан обзор знаменитою трактата К. Жордана по теории групп; приведено оригинальное доказательство теоремы Лагранжа о четырех квадратах, использующее арифметические свойства кватернионов. Следующие статьи содержат постановку нерешенных математических проблем н анализ задач олимпиады "Студент и научно-технический прогресс" по математике. Предложены также новые задачи и решения ряда задач, полученные студентами.