モデル理論は数理論理学の 1分野である代数学．特に代数幾何学や数論 幾何学への．モデル理論の応用について解説するのが本書の目標である． 代数幾何学の基本的定理の 1つであるヒルベルト零点定理を．モデル理論 流に証明することから本書の物語は始まる．代数的閉体のモデル理論的性質を 利用することによって．非常に見通しのよい証明が得られることに驚かされる だろう．実閉体のモデル理論を展開することによって， ヒルベルト第 17問題 をモデル理綸を用いて解くことも紹介する．一見互いに何の関連もないこれら 2つの定理が．モデル理論的には同じ原理で扱えるということは多くの読者 に新鮮な驚きをもたらすに違いない． とはいえ上記 2つの例は，すでに代数的方法で証明されている定理の別証 明を与えているに過ぎない．