Дедукция и индукция. Одной из
отличительных черт математики и таких наук, как теоретическая
механика, теоретическая физика, математическая лингвистика,
является дедуктивное построение теории, при котором все
утверждения выводятся из нескольких основных положений, называемых
аксиомами, с помощью дедукции, т. е. логического вывода (само
слово дедукция по-русски означает вывод). Аксиомами называют
высказывания, задающие свойства основных понятий данной теории
и отношений между этими понятиями.
В течение более чем двух тысячелетий образцом дедуктивного
построения теории была книга «Начала», написанная в III веке
до нашей эры древнегреческим геометром Евклидом. По этому
образцу писались не только математические сочинения, но и
философские трактаты. Однако позднейшая критика вскрыла недочеты в
изложении Евклида, показала, что наряду с явно
сформулированными аксиомами он использовал наглядно очевидные утверждения,
не фигурирующие в списке аксиом. Длительная работа многих
поколений геометров, важным этапом которой было построение
в начале XIX века Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии,
завершилась в конце XIX века созданием полной аксиоматики
геометрии. В книге немецкого математика Д. Гильберта «Основания
геометрии» за основные понятия приняты точкйу прямая,
плоскость, а за основные отношения между ними принадлежать,
лежать меоюду, быть конгруэнтными. Сейчас в школе применяется
иная система аксиом, в которой за основные понятия приняты
точка, прямая, плоскость, расстояние, а понятие конгруэнтности
строится на базе этих основных понятий.