Постановка вопроса. Из опыта известно, что твердые тела под влиянием внешних сил претерпевают некоторые изменения формы, исчезающие при постепенном прекращении действия сил; внезапное же прекращение действия сил вызывает колебательные движения. Задачей математической теории упругости является точный количественный учет возникших таким путем изменений геометрической формы и механического состояния тела. Пред нами стоит, таким образом, вопрос об определении деформаций и напряженного состояния твердого тела, если известны как действующие на него внешние силы, так и те условия закрепления, которым оно подчинено. Метод, которым мы руководствуемся, приступая к решению этих задач, есть обычный метод математической физики. В первую очередь определяются механические величины, характеризующие физическую картину напряженного состояния материала; затем, геометрические величины, определяющие деформацию тела. Зависимость между механическими и геометрическими величинами определяется из опыта; их математическая формулировка приводит нас к так называемым основным уравнениям теории упругости, иными словами, к уравнениям с частными производными, интегрирование которых отвечает в каждом отдельном случае на поставленные выше вопросы. Кроме составления этих основных уравнение., главным содержанием математической теории упругости является еще теория их интегрирования.

Классическая теория ставит себе при этом двоякие ограничения: в соответствии с важнейшими практическими проблемами рассматриваются исключительно деформации, столь малые, что произведениями упругих перемещений и их производных можно пренебречь по сравнению с выражениями, в которые эти величины входят линейно; далее рассматриваются только нагрузки, столь малые, что мы можем считать деформации пропорциональными тем силам, которыми они вызваны.