Первая систематическая теория обобщенных функций (также известных как дистрибутивы) был создан в начале 1950-х годов, хотя некоторые аспекты были разработаны значительно раньше, в частности в определение функции Грина в области математики и в работах поля Дирака по квантовой электродинамики по физике. Шеститомное собрание, обобщенных функций, написанных И. М. Гельфанда и соавторов и изданных в России в период между 1958 и 1966, дает Введение в обобщенные функции и представлена различными приложениями для анализа, уравнений в частных производных, стохастических процессов и теории представлений. Основная цель Объем 4 заключается в разработке функциональных настроек анализа для Вселенной обобщенных функций. Основные понятия, введенные в данном томе, является понятие фальсификации Гильбертово пространство (также известный как оснащенные Гильбертовы пространства, Гельфанд или тройной). Такое пространство является, по сути, тройной топологических векторных пространств $Е \Подгруппа \ч подмножество Е'$, где $H$ - Гильбертово пространство, $Е$ двойственный К $Е$, И включений $Е\подмножество ч$ и $H\подмножество Е'$ являются ядерными операторами. Книга посвящена различным приложениям этого понятия, такие как теория положительно определенных обобщенных функций, теории обобщенных случайных процессов, а также изучение мер на линейных топологических пространств.