В работе излагаются основные положения метода усреднения, разработанного в первой трети прошлого века Н.Н. Боголюбовым, который применяется к изучению нелинейного дифференциального уравнения колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса. Попутно излагаются первоначальные сведения из теории уравнения Матье и приводится диаграмма Айнса-Стретта. Сообщаются экспериментальные данные, полученные П.Л. Капицей и Т.Г. Стрижак. Пособие содержит и новые результаты для случая для почти-периодически колеблющейся точки подвеса. Приведен небольшой обзор литературы по указанной проблеме и смежным вопросам. Для студентов факультета прикладной математики, информатики и механики.