Ce cours de topologie a été dispensé en licence à l'Université de Rennes 1 de 1999 à 2002. Toutes les structures permettant de parler de limite et de continuité sont d'abord dégagées, puis l'utilité de la compacité pour ramener des problèmes de complexité infinie à l'étude d'un nombre fini de cas est explicitée. Les premiers rudiments d'analyse fonctionnelle sont ensuite introduits : prédiction de l'existence de la limite d'une suite dans un espace bien défini ; contrôle uniforme d'une régularité... Ce cours se termine sur la généralisation à la dimension infinie de la notion d'espace euclidien. Il comprend de nombreux exemples et environ 150 exercices non corrigés.